ii iti n a n 
SUL CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE DI INTEGRAZIONE, ECC. 41 
e, nei punti in cui A (t) è finita, 
(5) fl OAO=fAPMAMAIOIA 0. 
Si ha anche 
NACE i MICI TOTI 
P (to) P (to) 
e siccome, per il teorema I del n° precedente, è 
16 fia) de=| filo (JA (mM di, (i=1,2), 
P (to) 
segue 
E [® (1)] Ndr (ife [p(T))A(1) dt. 
Se ne deduce, in virtù della (5), che f[9()] A(6) e fs[P()]A() 
differiscono al più sopra un insieme, in (fo, 7°), di misura nulla. 
Ne seguono infine la misurabilità (') e la sommabilità di 
f[@(A)| A(t) e l'eguaglianza (3). 
5. Dimostrazione della formola (3) nelle ipotesi di 
De la Vallée Poussin. — Passiamo ora a dimostrare la for- 
mola (3) nelle ipotesi più generali considerate dal de la Vallée 
Poussin nella memoria citata. Premettiamo il 
Lemma. — Se x descrive un insieme E, di misura nulla 
quando t descrive un insieme E, di misura esterna non nulla, la 
funzione @(t) ha, quasi ovunque in E,, una derivata unica di va- 
lore zero. 
Supponiamo, anzitutto, che l'insieme £, di misura pulla sia 
misurabile (B). La funzione caratteristica e(x) di E, sarà (limi. 
tata) e misurabile (B) in (xo, X). Siamo in grado di applicare 
il Teorema I e di scrivere, per ogni numero derivato A(?) di 
9 (t), 
1000 e (x) Fr == fe |® (7)] A (1) di. 
(4) Se la funzione assolutamente continua e monotona @(#) fosse di 
funzione inversa assolutamente continua, la misurabilità e la sommabilità 
di f[®P(4)] A (#) seguirebbero già dall'ultimo teorema del n° 2. 
