42 MAURO PICONE 
Ma il primo membro, esprimente la misura dell’insieme 
comune all’intervallo [@(t), ® (t)] e all'insieme £,, è per ipotesi 
sempre nullo qualunque sia #, ne segue, in (to, 7), identica- 
mente, 
JE eo) NE) a 0 
L'integrale ora scritto ha dunque sempre la derivata nulla 
in (fo, T). D'altra parte questa derivata coincide quasi ovunque 
con e[@(#)] A(t), e quindi si ha, quasi ovunque in £,, A(t) = 0. 
Supponiamo che l'insieme £,, di misura nulla, sia qua- 
lunque. Esiste un insieme £, di misura nulla e misurabile (B) 
contenente E,. Sia E’, l'insieme corrispondente a E, , sarà 
E< Ei, me (E) =me(E:) (1), e quindi, avendo supposto 
me(E.)>0, sarà anche m.(£;) > 0. La funzione @(7) ha, per 
quanto precede, quasi ovunque in £;, e quindi quasi ovunque 
in È,, una derivata unica di valore zero. Il lemma è perciò di- 
mostrato. 
Dopo questo lemma si ha subito una semplice, rigorosa ed 
elementare dimostrazione del seguente teorema enunciato (nella 
Memoria citata) dal de la Vallée Poussin: 
Trorema II. — La formola (3) del cambiamento della va- 
riabile di integrazione sussiste se f(x) è misurabile e limitata. 
Poniamo 
Tac 
ii E) de, 
DEA 
la funzione f(x) è assolutamente continua e a numeri derivati 
limitati. Posto 
P(0) 
oM=FoM=|M fd, 
P (to) 
secondo un risultato contenuto nella Memoria citata del de la 
Vallée Poussin, la funzione ®(t), funzione assolutamente con- 
tinua a numeri derivati limitati di funzione assolutamente con- 
tinua, è pur essa, in (fo, 7), assolutamente continua. Sarà per- 
tanto dimostrata l’eguaglianza (3) se faremo vedere che, quasi 
(') Con me(E) indicheremo la misura esterna dell'insieme 4. 
ME A REA R TCA EER IRPI SLA E ESTINTA at 
