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SUL CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE DI INTEGRAZIONE, ECC. 43 
ovunque in (to, 7), la funzione ®(t) possiede una derivata unica 
data da f|p(1)] p'(1). 
Sia t un punto di (t,, 7) appartenente all'insieme CH, sul 
quale @(?) possiede una derivata unica e finita 9'(t) e suppo- 
niamo che nel punto x =@(t), corrispondente in (xo, X), 2 
questo punto #, la F(x) possieda la derivata unica f(x). Dato 
un incremento At a f, si ha: 
Ad= F(9 + A9)— F(9)=f(9)A9+0(f, 46) Ap, 
ove 0 (#, At) è una funzione di # e di At che tende a zero 
con At. Per cui: 
if (0) 7 +04) Lr 
Al tendere di At a zero, il rapporto A@ : At tende al li- 
mite finito @'(?) e pertanto: 
9) lim Pf) 0 0). 
ANT=0 
Sia ora XK, l’insieme dei punti di (xo, X), di misura nulla, 
sopra il quale (x) non ha una derivata unica. Se l'insieme £, 
di (to, 7), corrispondente a X,, è pur esso di misura nulla, ri- 
sulta già stabilita la (6) quasi ovunque in (fo, 7). Se l'insieme 
K, è di misura esterna non nulla, risulterà, in virtù del lemma 
premesso, quasi ovunque in X,, g'(#)=0 ela validità della (6) 
sarà di nuovo assicurata quasi ovunque in (fo, 7) se faremo ve- 
dere che ove è @'(f) = 0, la ®(t) possiede una derivata unica 
di valore zero. Si ha invero: 
Lar |SE| Ar]; 
(') Cfr. PincnerLe, Lezioni di calcolo infinitesimale (Bologna, Zanichelli), 
Cap. III, n° 151. 
