44 MAURO PICONE 
L designando il limite superiore di |f(x)|in (xo, X). Il Teorema 
risulta pertanto dimostrato. 
6. Estensioni del teorema III. — Nella Memoria citata 
il de ia Vallée Poussin afferma che, supposta la f(x) non 
più limitata, ma solamente finita e sommabile in (xo, X), con- 
dizione sufficiente per la validità della formola (3) del cambia- 
mento della variabile di integrazione è che la funzione 
Dj Fat; f.(2Vde 
JP (to) 
risulti assolutamente continua. Ora tale asserto non trova una 
facile giustificazione. Mentre è evidente la necessità di detta 
condizione non così parmi si possa dire della sua sufficienza. 
La dimostrazione data qui del Teorema III permette solo d'’af- 
fermare che: 
La formola (3) del cambiamento della variabile di integra- 
zione sussiste se, essendo f(x) finita e sommabile, la funzione © (#) 
risulta assolutamente continua, ed inoltre si verifica una delle 
due seguenti circostanze: a) all’insieme X, di (xo, X) in cui Fx) 
non ha la derivata unica f(x), corrisponde in (fo, 7°) un insieme 
di misura nulla; è) ®(#) ha quasi ovunque, nell'insieme di (to, 7) 
su cui @ (1) =0, nulla la derivata. Il che avviene, per esempio, 
se © (t) si annulla soltanto sopra un insieme di misura nulla. 
Poichè (cfr. de la Vallée Poussin, Memoria citata) una 
funzione assolutamente continua di una funzione assolutamente 
continua e monotona è assolutamente continua, si ha, in parti- 
colare, che: 
La formola (83) sussiste se, essendo f(x) finita e sommabile, 
® (t) monotona, si verifica una delle due seguenti circostanze : 
a) la funzione @(t) è di funzione inversa assolutamente con- 
tinua (cfr. n° 2); 5) ®(t) ha, quasi ovunque, nell’insieme di 
(to, T) su cui @'(t)=0, nulla la derivata. Il che avviene, per 
esempio, se @'(t) si annulla soltanto sopra un insieme di mi- 
sura nulla. 
Condizione necessaria per la validità della formola (3) è 
che la funzione f[®(t)] A(#) risulti sommabile in (to, 7); ora è 
facile dimostrare, cfr. la Memoria citata del de la Vallée 
