SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 811 
un previo esame comparativo fra i metodi (1) rispetto alla uni- 
forme sommabilità. A tale scopo è dedicato il $ 2. Per rendere 
più spedita la lettura di questa parte essenziale della Nota, ho 
raccolto nel $ 1 un certo numero di lemmi, alcuni dei quali pos- 
sono avere qualche interesse anche autonomamente considerati. 
$ 1. — Lemmi. 
1. — Lemma I. Sta f(a, 2) una funzione definita per i valori 
di a=0 (3) e di z in un intervallo Z, che ammetta derivata fa' (a, 2) 
rispetto ad a e che per ogni a=0 fissato sia funzione limitata 
di z in Z; sia inoltre g (a) una funzione positiva crescente di a => 0, 
tendente a + co con a e che ammetta derivata g' (a). Allora, se 
per a= + 0 il secondo dei rapporti 
esi fel (a, 2) 
FE 9g(0) g' (a) 
tende uniformemente in Z ad una funzione limite 1(z) limitata, 
anche il primo tende uniformemente in Z alla stessa funzione (4). 
Infatti, giusta l'ipotesi, dato e >0, esiste un numero a > 0 
(indipendente da 2) tale che per a > & e per ogni 2 di Z risulti 
(3) a i<I7% <1()+5 
Ora, fissato un a > e un 2 in Z, si ha, per il teorema 
del valor medio, 
f(a, 2) —f(00,2) __ fa (8,2) 
(a) — g (00) 9 (8)? 
ove on <BZa, quindi la (3) (ove si penga 8 in luogo di a) 
può scriversi 
ii REGIONE 
9 (a) — g (00) 
(*) O di un qualunque altro numero fisso. 
(4) Il lemma vale anche se f dipende da più variabili, oltre che da a» 
Supponendo invece f funzione della sola da, si cade su di un teorema di 
STOLTZ. : 
