312 GUSTAVO SANNIA 
moltiplicandola per la quantità positiva (giusta l'ipotesi) 
[9 (a) — g (00)] :9 (0) 
si ha l’altra 
@ fill se] + facto < 
<ho +all-tal+t 
per ogni a > e ogni 2 di Z. 
Ora, per ipotesi, lim g(0) = + ©, quindi i membri estremi 
eat=-|0% 
di (4) tendono rispettivamente a ! (2) — 3 e al(2) ++ per 
a=+ 0; ed uniformemente rispetto a 2 in Z, poichè, per ipo- 
tesi, f(00, 2) e (2) sono funzioni limitate in Z (9). 
Segue da ciò che esiste un numero a, > 0 (e indipendente 
da 2) tale che per ogni a >a, e ogni 2 di Z il primo membro 
di (4) risulti maggiore di È (2) -—{ — L= 1) e; ed esiste 
del pari un numero a, > (e indipendente da 2) tale che per 
ogni a > a, e ogni 2 di Z il terzo membro di (4) risulti mi- 
nore di |! A+5|+5=!0 + e. Dunque, per ogni a > 04 
e di a, e per ogni 2 di Z, risulterà 
De) e<TMA LI)te c.d. d. 
Osserv. IZ lemma sussiste anche se si suppone che f (a, z) 
sia funzione (reale o complessa) della variabile reale a >0 e 
della variabile complessa z in un’area Z, e che sia di modulo 
limitato in Z per ogni fissato a > 0. 
Poichè, posto 2 = x + iy, si può scrivere 
f (0,2) = (a, 4,7) + iv(a, x,y) 
(9) Infatti ciascun termine del 1° membro per es. è del tipo f(2)g(a) 
con f(2) limitata in Z, sia |f(2)|<%, e de NA )= A (indipendente da 2). 
Ne segue che, dato e > 0, esiste una salato a) tale che per a> @ risulti 
1g (a) — Al<È, quindi |f (e) g (a) —f(2) A|<e, e perciò lim [f(2)9 (a) = 
AaZ=+|+%0 
f (2) A uniformemente in Z. 
