SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 313 
con « e © funzioni reali delle variabili reali a, x, y e soddisfa- 
centi alle condizioni a cui soddisfa f (a, ) nel lemma: ammet- 
tono cioè derivata rispetto ad a e, per ogni fissato a => 0, sono 
funzioni limitate di (x,y) nell’area Z. Ora poichè, per la nota (4), 
il lemma può applicarsi a ciascuna di esse, potrà applicarsi 
anche a f (a, 2). 
2. — Dirò che una serie di funzioni (di una o più varia- 
bili reali o complesse) 
(5) Uo + u + unt... 
è convergente assoluto-uniformemente in un campo Cl quando è 
ivi convergente uniformemente la serie formata dai moduli dei 
suoi termini. 
Evidentemente la convergenza assoluto-uniforme non è la 
sovrapposizione della convergenza assoluta e di quella uniforme, 
ma implica condizioni più restrittive: da essa seguono le altre 
due, ma non viceversa. E però meno restrittiva della conver- 
genza normale (°), dalla quale infatti segue quella assoluto- 
uniforme (7). 
3. — Lemma II. I coefficienti di una serie di potenze di una 
variabile a 
(6) do (2) + a, (2)a + ag (2) a? +... 
siano funzioni di una (per es.) variabile z in un campo Z. Se per 
ogni fissato a = 0 la serie è convergente uniformemente in Z, sarà 
convergente normalmente (quindi anche assoluto-uniformemente) 
quando la si consideri come serie di funzioni delle due varia- 
bili z e a, per z in Z ed a nell'intervallo (0, m), qualunque sia 
m>0. É viceversa (evidentemente). 
(5) La (5) è convergente normalmente in un campo quando i moduli 
dei suoi termini sono minori dei termini corrispondenti di una serie con- 
vergente a termini positivi costanti. 
(*) Insomma ciascuna delle convergenze, normale, assoluto-uniforme, 
assoluta e uniforme, uniforme, trae seco la seguente. 
