314 GUSTAVO SANNIA 
Inoltre di ambedue le proprietà godranno pure le serie che 
si deducono dalla data (6) derivandola o integrandola în (0,0) 
rispetto ad a, termine a termine. 
Infatti, dato m >0 e scelto un 4>, la (6) è per ip. 
convergente uniformemente in Z quando vi si pone a=À, 
quindi è lima, (2)k4"= 0 uniformemente in Z, ossia, dato e>0, 
esiste un intero n, (indipendente da 2) tale che risulti 
lan (2) h'|<e (8), 
quindi 
[an (2) *l=lax (2) A] |a f<las (2) h°| | Led < 6g”, 
ove cit per "> e a in (0, m). Ora, poichè XYg" è 
convergente, ciò prova la prima parte dell’enunciato. 
Inoltre si vede del pari facilmente che 
+1 
[man (2) ga ae gt a, (e) het rai 
i 
n+1 
che le serie che si ottengono da (6) derivandola o integrandola 
in (0, a) rispetto ad a sono convergenti normalmente per 2 in Z 
e a in (0, m). 
e poichè le serie va ng, sono convergenti, ciò prova 
4. — Lemwa III. Se una serie di funzioni (di una 0 più 
variabili reali o complesse) di modulo limitato in un campo C 
(7) Uo + +ust.. 
è ivi convergente uniformemente, anche la somma u della serie ha 
modulo limitato in C ed i moduli delle somme parziali 
(8) Uo, Ut, tut, 
sono limitati nel loro insieme în €. 
(8) Di qui segue che |a, (2) \<+ per n> #, e perciò che i coeffi- 
cienti a, (2) della (6) sono funzioni D° seat limitato in Z a partire da un 
certo n. E 
