SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 315 
Infatti, per ipotesi si può scrivere 
(9) u=uo dt +... + + ra 
e, dato e>0, si può rendere |r,|<€ in C per ogni » mag- 
giore di un intero costante m; quindi 
lul<|wol+|u +... +[u]+6, 
il che prova che |w| è limitato in C, tali essendo |wo|,..., ||. 
Sia |u]</. Allora da (9) segue che per n >m 
|utur bt... + u,l</|u|+im|<Z+€, 
e perciò che sono limitati nel loro insieme in C i moduli delle 
somme (8) astrazione fatta dalle prime m + 1, e quindi anche 
queste incluse. 
5. — Lemma IV. Se due serie di funzioni di modulo limi- 
tato în un campo C 
(10) tutt. Vo + Ut Ubs 
sono convergenti uniformemente in C, tale è pure la serie-prodotto 
(11) wWot w + wo + (0, = 00 + Uda +» + Un Vo) 
se una delle due date è convergente assoluto-uniformemente in C; 
che se poi tali sono ambedue le date, tale sarà pure la serie-prodotto. 
Supponiamo che la prima delle (10) sia convergente asso- 
luto-uniformemente in C e perciò che, oltre alle (10), anche 
la serie 
|uol +} 4|us1 +... 
sia convergente uniformemente in C; sicchè le somme 
Uo dt... k4ns VT out. 4% 
luo +|ux{ + +j%n| 
per n= tendano a limiti finiti uniformemente in 0. Dobbiamo 
dimostrare che lo stesso accade di w, + w, + ... + n. 
