316 GUSTAVO SANNIA 
Poichè (vo ++... + un) (Cv +0 +... + 0) tende ad 
un limite finito uniformemente in C, basterà dimostrare che le 
differenze 
dn = (00+. 4 02) — (ot. +) (ott 0), 
dillo + vad — MH PURA) TO 
tendono a .limiti finiti (precisamente a zero) uniformemente in C. 
Dimostriamolo per es. per la prima. 
Sostituendo alle w, le loro espressioni (11), ordinando ri- 
spetto alle «o, ;, ... e poi prendendo i moduli, si ha 
|A, |<|uo loin + Van + |%1 I Data da ee 
{n ||on4a] 4 ]%n41 [| do 4 + ona] + |Unte || Vo A ooo 
+ ona +... +|%on || vol. 
Per la convergenza uniforme delle serie (10) e (12) e per 
il lemma II, le somme |vw+..+ 0], |vol +... +|%n] 
(n = 0, 1, 2, ...) sono limitate nel loro insieme in C, ossia esiste 
una costante / >0, tale che per ogni » e in tutto C risulti 
lo +... +0,|<!g luo] + +|un|<!. 
Inoltre, dato e > 0, esiste un intero m > 0, tale che per 
ogni intero n=m e per ogni intero p>0 risulti in C 
E € 
onto + one < 37: luni + + nto < 37 - 
Ne segue che, per ogni n =m e in tutto C 
ld. |<|wola7 + + tall + + | gn |2 
=[|uwo]+.- + %n1]] 37 + [{ta+a 1 + 0 +] 20] 2 
<l:-gtai=6 
e quindi che lim d, = 0 uniformemente in C. c. d. d. 
n= 
