SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 319 
Passando allo studio delle proprietà delle serie di funzioni 
dal punto di vista della uniforme sommabilità in un campo Z, 
supporrò che queste funzioni siano di modulo limitato nel campo Z. 
E così resta inteso d’ora innanzi (!?). 
9. — I concetti di serie uniformemente sommabili (B',»r—1) 
o (B,r) sono estensioni dell'ordinario concetto di serie unifor- 
memente convergente, perchè: 
Se la serie (14) è uniformemente convergente in Z con somma 
u(z), è pure uniformemente sommabile (B',r —1) e (B,r) în Z 
e con ugual somma (!3). 
10. — Se la serie (14) è uniformemente sommabile (B', r — 1) 
in Z con somma u (z), è pure uniformemente sommabile (B', r — 2) 
in Z e con ugual somma. 
Poichè, giusta l'ipotesi, la serie (16) è convergente unifor- 
memente in Z per ogni fissato a => 0, lo stesso avverrà (per il 
lemma II) della serie 
1) 49 (0,2) = Y Unsra (A) 7 
n=0 
che se ne deduce integrandola rispetto ad a, e sarà 
(ERETTA pa 
li (are = UU" (e): 
gente uniformemente per 2 in Z e @ in (0,3) qualunque sia m=20. Ma 
ora il lemma II del n° 2 assicura che questa maggior restrizione è solo 
apparente; sicchè le due definizioni sono del tutto equivalenti. 
(42) Questa limitazione, che per le applicazioni non è di gran peso, è 
d'altronde già in parte implicitamente contenuta nella definizione stessa 
di serie uniformemente sommabile (8, »). Segue infatti dalla condizione 
ivi imposta alla (18) e dalla nota (°) che i coefficienti della (18), e quindi 
le un+r(2);) sono di modulo limitato a partire da uno di essi. 
(3) Per la sommabilità (8, ») ciò è stato dimostrato nella Nota citata 
in (5). Per la sommabilità (B/’, 7 — 1) vale la stessa dimostrazione, ma ar- 
restata alla formola (12) di p. 79. (E tale dimostrazione, data nel campo 
reale, vale anche nel campo complesso, come subito si riconosce). 
