320 1 GUSTAVO SANNIA 
Inoltre, essendo le «, (2) funzioni di modulo limitato in Z, 
tali saranno le U, (2) (15), e quindi anche i termini della 
serie (16), e quindi anche (per il lemma III) la somma U”7? (aq, 2) 
per ogni fissato a > 0. 
Infine, esiste per ip. il limite (17) ed è uniforme in Z. 
Si può dunque applicare il lemma I, assumendovi 
Flosa= UTP (asa g (a) = e$, 
e che dà 
lime #0” (a, 2) ='lmte VO (e dè 
ao 
uniformemente in 4. 
11. — Se la serie (14) è uniformemente sommabile (B',r—1) 
in Z con somma u(z), è pure uniformemente sommabile (B, r) in Z 
con ugual somma; e viceversa. 
Giusta le definizioni del n° 8, si tratta di dimostrare in 
primo luogo che, fissato a =>0, se la (16) è uniformemente 
convergente in Z, tale è anche la (18), e viceversa. 
Perciò immaginiamo fissato un 2 in Z, sicchè la (14) di- 
venti una serie numerica e le (16) e (18) serie di potenze di a 
a coefficienti numerici. Allora sappiamo (M, n° 6) che le (16) 
e (18) son tali che quando l’una è convergente per ogni a 
(e necessariamente per ogni 7) tale è anche l’altra, e che fra 
le loro somme passano le relazioni 
(22) UA (a,.2) — UL @,2) = (2); 
Dai as ia = era 
da cui 
(239) e*U"(1,2)=U (+ file u” (a, 2) da, 
ossia 
4)  U"D(0,2)=eU._()4 e | “eu (a, 2) da, 
Ciò vale per ogni 2 fissato di Z, quindi le (22), (23) e (24) 
valgono per ogni a=>0 e ogni 2 di Z. 
