SERIE DI FUNZIONI SOMMABILI UNIFORMEMENTE, ECC. 321 
Ora si supponga che, per ogni fissato a = 0, la (16) sia 
convergente uniformemente in Z; allora lo stesso avverrà (n° 3) 
della 
(25) U® (a, 2) = E 
n! 
n=0 
e quindi della (18), loro differenza, per la (22). 
Viceversa, si supponga che, per ogni a=0, la (18) sia 
convergente uniformemente in Z. Allora essa, anche considerata 
come serie di funzioni delle due variabili 2 e a, sarà (n° 3) con- 
vergente assoluto-uniformemente per 2 in Z e a in (0, m) qua- 
lunque sia m > 0; e tale essendo anche lo sviluppo di Mac- 
LAURIN di e * (che non dipende da 2), tale sarà anche (n° 5) 
la serie che si ottiene moltiplicandole con la regola di CAUcHY 
e che avrà per somma e7*«® (a, 2); e tale sarà pure quella 
che se ne deduce integrandola rispetto ad a (n° 3); e tale in- 
fine, per la (24), sarà la serie (16). Perciò quest’ultima serie 
sarà convergente uniformemente in Z per ogni fissato a > 0. 
Bisogna dimostrare in secondo luogo che, se esiste il li- 
mite (17) ed è uniforme in Z, l'integrale (19) è convergente 
uniformemente in Z; e viceversa. E ciò segue subito dalla (23), 
perchè (19) non è che il limite dell’integrale che vi figura 
per a =. 
Infine la stessa (23), al limite per a = + 0, esprime (n° 7) 
che la somma della (14) è la medesima (2) quando si adope- 
rano i metodi (B'’, r — 1) e (B, r). 
12. — Il teorema precedente assicura che /a (20) sussiste 
anche per rispetto alla uniforme sommabilità; quindi d’ora in- 
nanzi possiamo ritornare a parlare del solo metodo di somma- 
zione (B, r). 
In particolare, il teorema del n° 10 diventa: se la serie (14) 
è uniformemente sommabile (B,r) in Z con somma u(z), è pure 
uniformemente sommabile (B, r —1) în Z e con ugual somma. 
Dunque anche per rispetto alla sommabilità uniforme (!4) 
(4) Come accadeva rispetto alla semplice (M, n° 18), 
