cal 
ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 481 
Vi sono tuttavia delle V, eccezionali, tali che, per le loro sezioni 
iperpiane generiche, w ha un valore più piccolo di quelli ora 
indicati: ci vogliamo appunto occupare della ricerca di tali V, 
eccezionali, per X = 4. Il modo di avviare la ricerca è indicato 
dal risultato gia acquisito (v. ancora il n° 8 della Nota I), che 
quelle V, sono, tutte e sole, quelle che soddisfanno a un sistema 
da — El av eq. di Laplace lin. ind., tale che la ma- 
trice jacobiana delle loro forme associate (3) sia identicamente 
nulla, di caratteristica X — (w— w' — 1). 
Per k=2, si riconosce immediatamente che non esiste nes- 
suna superficie di tal fatta; per k= 3, il sistema delle coniche 
associate sarà costituito dalle coppie di rette (del loro piano) ‘ 
per un punto fisso, cosicchè il teorema del n° 10 della Nota I 
ci assicura che le sole Vs del tipo richiesto sono i luoghi gene- 
rici (4) di piani di S, con r > 6. 
Per k= 4, il sistema delle quadriche associate dovrà essere 
uno di quelli elencati sotto «,), 43). @3), 5) e c) nel n° 1 della 
Nota II, oppure il sistema co? delle coppie di piani per una 
retta. In quest'ultimo caso si trovano, fondandosi ancora sul 
n° 10 della Nota I, le V, luoghi generici (cfr. la nota (4)) 
di piani di S, con r=11; e, nello stesso modo, il caso a) 
conduce alle V, luoghi generici di Sz immerse in S. con r>8. 
Il caso 5) rientra fra quelli studiati al n° 12 della Nota I. 
Restano quindi a trattare i casi ag), 43) e c). 
2. — Gioverà sgombrare anzitutto il terreno dal caso c), 
in cui le quadriche, associate al sistema di equazioni di Laplace 
rappresentato dalle V,, costituiscono un sistema 3 contenente 
un sistema co? formato dalle coppie di piani per una retta r. 
Ora però, a differenza di quanto si è fatto nella Nota Il, ci 
converrà non escludere quei particolari sistemi di quadriche 
che soddisfanno contemporaneamente anche alla definizione del 
caso 4) (sistemi lineari di coni col medesimo vertice). Le no- 
(VE Nota: I, n° 2. 
(4) Generici nel senso che quelle Yz non debbono rappresentare altre 
equazioni di Laplace, se non le 00? che esprimono che quelle V3 sono luoghi 
di piani. 
