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ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 483 
E non potrà neppur ora essere identicamente u33 = 34 =%u=0, 
poichè, variando la scelta dei parametri, il sistema lineare delle 
quadriche associate alle equazioni di Laplace rappresentate 
dalla V, resta proiettivo a sè stesso (Nota I, n° 2); cosicchè 
lo stesso ragionamento di sopra prova che 9113 = 9114 = 9123 = 
= Y134 = 9293 = 9224 = 0: le superficie t;3 = cost., t, = cost. rap- 
presentano tre eq. di Lap. lin. ind. e sono perciò piani. 
Nei sottocasi c,) cs) si ottengono dunque le V, luoghi di piani, 
rappresentanti quattro equazioni di Lap. lin. ind. 
8. — Nel sottocaso c3), in cui tutte le quadriche associate 
alle (1) del n° precedente passano per la retta r (cioè 33 = 
= Ugz4 = a = 0), la conclusione precedente non è più valida. 
Tuttavia si può dimostrare che il sistema A, FY= A,gF=0 è 
ancora completo, e dedurre che, se la V, non è ancora un luogo 
di piani, rappresentante quattro eq. di Lap. lin. ind., essa è co- 
stituita da co! V,, rappresentanti quattro eq. di Lap. lin. ind. 
Infatti, operiamo per semplicità, nello Sz delle quadriche asso- 
ciate, un cambiamento di coordinate, ponendo i nuovi piani 
*fondamentali in a, = 0, ag = 0, a3=0, aj ="0, e precisamente 
poniamo le nuove coordinate 0’ di un punto [0] proporzionali 
a x 8 xa, oa X 45,8, Ya, 0,. Allora se, colle formole di 
r 
zione Yi = X 91, 9, diviene identicamente Y'» = 
=Y g9',3,9",, ecc. (cosicchè la relazione P1 = — Pa = Yan — Ie 
de 
diviene pi, = — P'u= 9 — 9123), dal fatto che le quadriche (2) 
debbono stare con a,°, a,0,, a in un sistema 008, segue: 
LI 
(3) P'213 + DA 123 p 214 + g' 9 124 — Y'113 — Yu Vee 
AA g 223 chi g 224 P'133 + Y'313 Pod SA Gora 
D'altra parte, operiamo sulle tre prime (1) con Az, A 
in''modo da ricavarne le 4, 4 A, (},m=1,2; n=3,4), 
quindi anche le A, A, Anrxt VA, A An® + XY Amr Pass £”, espresse 
linearmente per x e le sue derivate prime e seconde; e sosti- 
tuiamo poi queste espressioni nelle relazioni che si ricavano 
operando con A,, 4, sull’ultima fra le (1): si giunge così a 
