ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TAVNGENTI, ECC. 489 
di a,, 0, 03. Di più, operando con A; e con A, rispettiva- 
mente sulla quarta e sulla quinta equazione (11), e ricavando 
As dA 4AgxdO AA 4xX+- Ya, 91€” dalla prima equazione, si 
Ta 
ottengono ancora due equazioni di Laplace, aventi per quadriche 
associate: 
(13) \ — Yi +12 + A3(P.) 0 + pi (03124 043 Po) + 1a =0, 
| — 3 Ya + % Pa FA: (Pa) aj + Ps (—03Y31-4- 03 Pg1) "a Ya =0. 
Anche per queste quadriche il punto a =@,=0a,=0 è doppio, 
e perciò in quel punto è anche Y.1= Ya = 0. Tutto questo prova 
che il sistema A/F= A,F= A;F=0 è completo, e che, assu- 
mendo come nuovo parametro t, una soluzione di tale sistema, 
nel sistema (11) trasformato non compaiono più derivate fatte 
rispetto a t,; cioè le V;} t,= cost. rappresentano cinque equa- 
zioni di Lap. lin. ind. Ora una V; rappresentante cinque equa- 
zioni di Lap. lin. ind. (v. la nota (?)) o sta in S;, o è una co! di 
piani sviluppabile ordinaria, eventualmente degenere. La V, in 
questione sara dunque costituita da co! V; di S,, o da co' piani 
di una sviluppabile ordinaria (insieme coi casi degeneri). Vice- 
versa, le V, generiche (dove la parola generiche ha un significato 
analogo a quello definito nella nota (*)) fra quelle di questi due 
tipi rappresentano cinque sole eq. di Lap. lin. ind. e corrispon- 
dono proprio al caso as). Quindi le V, corrispondenti al caso ar) 
(situate in S, con r => 9) sono V, generiche fra quelle costituite 
da o! Vi di S,, 0 da co! sviluppabili ordinarie di piani (insieme 
coù casi degeneri). 
Non è forse senza interesse osservare che in modo perfet- 
tamente analogo si dimostra che, se una V, rappresenta tutte 
e sole le equazioni di un sistema: 
| ArAn ti 00 (mn=1,2,...pi m= n) 
(11') 
(An Ano + prdAg Ae 0 (m=1,2,..p—1) 
dove i p operatori differenziali A sono linearmente indipendenti, 
essa, se p>2, è luogo di co? 7,, ciascuna delle quali rap- 
pPp+1) 
2 
presenta — 1 eq. di Lap. lin. ind., cioè luogo di co? Y, 
appartenenti ciascuna a uno S,;,, oppure di 00%? luoghi di S,_1 
