ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 491 
6. — Nella ipotesi I, il sistema rappresentato dalla V, si 
può supporre ridotto alla forma: 
As Axr+Lg9 004 ge =0 i 
Ag 4x4 Ya 4 giga = 0 
(14) 3 | 
A3 Ax+ Y VESTE MEO ggag = 0 
pi di Ax+ p: A, A,x 4 p3 43 Ages Miga ga= 0, 
dove nessuna delle tre funzioni p;, ps, p; sia identicamente nulla. 
Dalle prime tre equazioni segue intanto, come al n° 4, che il 
sistema A\F= A.F= A;F=0 è completo, e che inoltre per 
ennio — 0 è = Ya = Ys= 0. Approfittando nel solito 
modo di questa circostanza possiamo intanto supporre a, = 4% = 
= Gg = Yi = Yi = 9231 = 0. Applichiamo di nuovo in questa 
ipotesi lo stesso procedimento, deducendone p. es. l'equazione 
di Laplace la cui quadrica associata è la prima delle (12); essa è: 
vs » a (rs, i E 
D ds Pag, gr + 3a A3s Yer L° )_ Da; gie % al) Paz, pu) sa 
rs rs TN ‘8 
+ E (0a. già — 05, gior) &' + Ao (9100) — Ao (990) =0. 
In questa equazione non compare la derivata 2; pertanto 
è gig= 0, oppure essa è combinazione lineare delle sole prime 
tre equazioni (14). Nella prima ipotesi, in nessuna delle equa- 
zioni (14) compaiono derivate fatte rispetto a Tt,, e perciò le 
V;, t,= cost. rappresentano quattro eq. di Lap. lin. ind., e la V4 
è una co! di V, rappresentanti ciascuna quattro eq. di Lap. lin. 
ind. Occupiamoci dunque della seconda ipotesi, in cui le forme 
che stanno al primo membro delle (12) sono combinazioni lineari 
di 0; 0,, 0103, 0,03; allora 33, Ya; Ys: risultano combinazioni 
lineari delle sole a,, az, ecc. Ciascuno dei tre sistemi A,F = 
0 AF=A;F=0; AF= :A;F=0, nella: funzione 
incognita /, è dunque completo, e si possono sostituire a T,, Ts, T3 
tre nuovi parametri che siano rispettivamente soluzioni di 
questi tre sistemi (si può sempre fare in modo che il cambia- 
mento di parametri sia invertibile). Il sistema (14) è pertanto 
riducibile alla forma: 
