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(con r = 10) integrale del sistema stesso,..questa V, non rap- 
presenta altre equazioni di Laplace, se non le combinazioni 
lineari delle (16) stesse. 
Alle condizioni iniziali si potrà dare talora una forma più 
simmetrica. Precisamente, se sì indica con È (x) il primo membro. 
dell’ultima equazione (16), ogniqualvolta sussistano le due se- 
guenti proprietà: 
1) l'equazione £(x)=0 possiede una e una sola solu- 
zione, che ammette derivate quarte rispetto a t,, Ta, T3, la 
quale per t,=t, si riduce a una data funzione di T;, Ts, Tg; 
2) Il sistema nelle tre funzioni incognite 33, %13; %is: 
/ È (43) + PI a pi? us + Agg un» 4-21 (442 a hi) 13 
429, Gene HD) nn = 0 
(26) È (013) == pi” uz + ps 9 u8 A fa; U13 + 2 po (AP — hi) Un + 
+ 2p, (482 — h12) un =0 
È (412) + pil ul) + pi sg 2 Un + 23 (AÈ a hE3) U13 -- 
+ 2ps (482 — 15%) ug = 0 
dove si è posto: 
Ag = 2 pa (4? — hE9) + 2ps (429) — 169) — 2p9 49 — 2p9 hO L 
+ pò hO + pa) no ecc. 
non ammette altri sistemi di soluzioni nulle per t,.= 7, se non 
quelle identicamente nulle: 
allora il sistema (16) ammette un integrale x tale che 
(15 Tonio. BT (to Gea Ty) 
si riducano a tre funzioni arbitrarie rispettivamente delle sole t,, 
T3, Tg, siano 9a (T1), dig (Ta), dio (T3), colla restrizione 0g3 (t1) = 
= 913 (12) = 0a (13). 
Invero, sia ® (t;, ts, t3) quella soluzione del sistema formato 
dalle tre prime equazioni (16), per t,1=t,, che corrisponde (!?) 
(42) Cfr. DarBOUX, op. cit., v. il n° 1040. 
