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ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 497 
alle condizioni iniziali ora indicate, e sia x la soluzione di 
wWiii-=0 che per ,=7, si riduce a R(t,, t3, Tg). Posto: 
\ Si= 000 — 49 gl L'HD) x 
sa = 009 19 25) _ 40,9), 
| Si = 109 — h9 gl) — hO 50, 
il calcolo di (513), ecc., tenuto conto della R(x) =0 e delle 
varie relazioni che intercedono fra i coefficienti delle (16), porta 
precisamente a scrivere che sono soddisfatte le (26) dove alle w 
si sostituiscano le s; e poichè per t,=t, le s si annullano 
(giacchè allora + = ©), segue dalle ipotesi fatte che le s si 
annulleranno ovunque, e perciò la x soddisfa, per ogni valore 
di t,, anche alle tre prime equazioni (16) (18). 
8. — Per il sistema definito dalle tre prime equazioni (16) 
il Darboux (!) ha mostrato l’esistenza di trasformazioni di La- 
place che dàn luogo a nuovi sistemi di tre equazioni costituite 
in modo analogo. Orbene, tali trasformazioni di Laplace mutano 
anche la quarta equazione (16) in una equazione del medesimo 
tipo, e perciò tutto il sistema (16) in un sistema del mede- 
simo tipo. 
Poniamo infatti, col Darboux, p. es. 
(27) y=a? — hi a, 
dove x è una soluzione del sistema (16); il calcolo di y®%, y®, 
y®, y* porge intanto che il punto y descrive una YV,' (e non 
una varietà di dimensione minore) fintantochè 
(28) [LO — 19) [1 — 10 40]=0. 
Si calcolino poi le derivate seconde di y. Per semplificare 
i calcoli, si può supporre di avere effettuato un cambiamento 
(53) Non occorre naturalmente richiamare l’attenzione sul fatto che la 
presenza dell'equazione parabolica R(x)=0 nel sistema (16) fa sì che gli 
integrali del sistema dipendono da un numero diverso di funzioni arbitrarie 
di una variabile, secondo che questa è p. es. T3 oppure T,. 
('*). Op. cit., v. il n° 1042. 
