268 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



les relier par une ligne plus courte qu'une longueur donnée. 

 Les deux points étant déterminés et distincts, il y a une 

 limite minima à la longueur des divers chemins que l'on 

 peut suivre pour aller de l'un à l'autre. C'est une consé- 

 quence nécessaire du principe de continuité. 



La Géométrie usuelle est basée sur l'hypothèse d'une 

 ligne de 'plus court chemin unique entre deux points dis- 

 tincts et déterminés A et B. La longueur de cette ligne 

 est la distance entre les points A et B. C'est une relation 

 mutuelle qui dépend de la position relative des deux points 

 et qui la définit, mais qui est indépendante du lieu ou du 

 site et demeure invariable de forme et de grandeur dans les 

 déplacements du système constitué par les deux points. 



La distance d'un point mobile à un point fixe peut 

 décroître indéfiniment, tendre vers zéro et s'annuler. Nous 

 spécifierons à l'axiome IV, ce qu'il convient d'admettre au 

 sujet du déplacement élémentaire du point. 



Axiome III (d'étendue illimitée). — D'autre part, la 

 distance peut croître au-delà de toute longueur désignée. 

 Le déplacement du point n'a donc d'autres bornes que cel- 

 les qui pourraient résulter de la contradiction avec les con- 

 ditions arbitraires que nous lui imposerons nous-mêmes 

 pour l'étude des diverses formes du mouvement. Cet axio- 

 me ajoute à la notion de l'espace géométrique l'idée d'une 

 étendue illimitée. Il est permis de douter qu'aucune concep- 

 tion puisse être plus générale. On l'exprime sous une autre 

 forme en disant que la distance peut varier de zéro à l'infini 

 (de à 00 ) Mais nous préciserons ce symbole convention- 

 nel ( oo ) quand nous aurons à étudier les propriétés du plan 

 euclidien et à définir le parallélisme. 



Conçruence et coïncidence. — On se rendra compte 



