DE LA GÉOMÉTRIE 273 



tendue illimitée que suppose Faxiome III. Cette extension à 

 l'infini de la notion de congruence n'est évidemment qu'une 

 pure convention sans représentation contingente, mais 

 cette abstraction est possible si l'on n'établit pas de contra- 

 diction entre les deux termes étendue illimitée et éten- 

 due définie c'est-à-dire à la condition de ne pas attribuer 

 au mot défini le sens exclusif d'une grandeur finie, 

 arrêtée par des contours apparents, mais le sens bien 

 différent de grandeur nettement désignée, y^eprésentée 

 sans équivoque \ Sous ces réserves, nous pourrons sans 

 contradiction imaginer un symbole qui représente à notre 

 esprit, d'une façon claire et certaine, le rapport entre deux 

 étendues illimitées. Cette convention sera la dernière hypo- 

 thèse, ou le dernier axiome que nous aurons à formuler 

 pour donner au déplacement du point mobile une définition 

 précise et complète qui nadinette aucun cas d'indétermi- 

 nation, et qui sous l'énoncé du postulatum d'Euclide, ou 

 sous toute autre formule, nous permette d'écarter de l'es- 

 pace géométrique usuel les spéculations qui sortent de son 

 cadre et les abstractions qui ne sont pas de son domaine. 



Conséquences des axiomes I, II et IV. — 1° La ligne 

 de plus court chemin entre A et B est la même qu'entre 

 5 et A ou plus simplement la distance A B est égale à la 

 distance BA. 



Désignons par la notation d. AB la continuité suivant 

 la ligne de distance et par l. A B celle qui correspond à 

 tout autre cheminement. 



d. AB = d. BA (axiome de distance). 



* Une définition complète ne comporte que l'énoncé du genre 

 commun et de la différence propre. Un lieu géométrique est entiè- 

 rement défini, même sans limites. 



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