274 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



Le déplacement élémentaire ayant lieu suivant la ligne 

 de plus court chemin, tous les déplacements élémentaires 

 peuvent être supposés réversibles et alors l. AB~l. BA 

 suivant un cheminement quelconque'; donc toute conti- 

 nuité linéaire a la même longueur dans les deux sens. 



2° Pour tout point M intermédiaire entre A Qi B sur la 

 ligne de distance, les éléments AM et B M de cette ligne 

 sont aussi des segments minima ou des lignes de distance 

 entre M et ^ d'une part, comme entre M ai B d'autre part. 



En effet si /. ^ M ditfère de d. A M, on pourra trouver 

 un autre cheminement plus court, qui constituera avec 

 l. M B un trajet moindre que d. A B entre les points A et 

 B, ce qui est contraire à l'hypothèse. 



3° Il en résulte que la ligne de distance A B est le lieu 

 géométrique des points M tels que l'on ait : 



d. Â^+ d. Wb = d. AB 



en ne considérant pour le moment que les points compris 

 entre A et B. 



4° On voit que la distance A M part de zéro pour croî- 

 tre jusqu'à A B d'une manière continue. On 

 peut donc la partager en un nombre quelcon- 

 que de longueurs égales. Les parties corres- 

 pondantes de AB sont par suite égales et con- 

 gruentes, par cette raison qu'il n'en peut exis- 

 ter qu'une entre deux points de division con- 

 sécutifs. 



5" Soient deux points ^ et ^ et leur ligne de 

 distance A B. Prenons le milieu M de cette 



ligne (fig. 1). 



< Par application à l'axiome IV des principes d associativité et de 

 commutativité, généralisés par récurrence. 



