DE LA GÉOMÉTRIE 275 



d. ÂW= d. MB = -L d. AB 



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Considérons deux points quelconques C et D dont la dis- 



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tance à M soit égale à — d. A B 



d. CD < d. CM+ d. MD 



<2 d. AM 



C et D pourraient être disposés comme A et B en C E, 

 de telle sorte que leur ligne de distance passe en M. L'é- 

 galité d. C E =- 2 d. MA serait alors satisfaite. Je dis 

 d'ailleurs qu'aucune autre disposition ne peut satisfaire à 

 cette égalité. 



En effet, ^iC MetMD étaient disposés de telle sorte que 

 M fût en dehors de la ligne de distance CD, on aurait 

 d. C~D = 2 d. A M = d. MC + d. WD et par suite deux 

 cheminements tels que la longueur serait minima, ce qui 

 est contraire à l'axiome de distance. 



De la ligne droite, lieu de distances. 



Le raisonnement ci-dessus est indépendant de la valeur 

 de d. MA, qui n'est pas limitée. Si donc on donne deux 

 points A et B, et leur distance d, on peut toujours imagi- 

 ner deux autres points A' et C, tels que leur distance soit 

 double de la première, soit 2 d, puis prendre le milieu de 

 la ligne de distance A' C; soit B' ; ensuite porter sans 

 déformation la ligne de distance A' B' sur A B et alors le 

 point C viendra occuper une position C telle que A C 

 est une ligne de distance passant par B. Donc étant don- 

 nés deux points quelconques A et B je puis trouver un 

 point C tel que la ligne de distance A C ait son milieu en 



