276 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



B, puis un point D tel que la ligne de distance A D ait 

 son milieu en C, puis un point E tel que le milieu de d. 

 A E soit en D et ainsi de suite indéfiniment. 



Tous ces points seront sur une même ligne de distance 

 et les intervalles progressifs AB,AC,AD,ANàQ cha- 

 que nouveau point à l'origine A, seront entr'eux comme les 

 termes de la série 1, 2, 4... 2". 



On peut de même doubler la ligne de distances de l'au- 

 tre côté de ^ ; à cet effet, imaginons deux points dont la 

 distance soit double de^ N ; traçons leur ligne de distances 

 et prenons-en le milieu ; plaçons ce milieu en A et une ex- 

 trémité en N. L'autre exti^émité nous donnera le point cher- 

 ché en N' . On pourra ainsi doabler la ligne alternativement 

 dans un sens et dans l'autre et cela indéfiniment, en sorte 

 que les extrémités seront aussi éloignées que l'on voudra 

 de l'origine et que leur distance pourra croître au delà de 

 toute longueur désignée sans que la ligne de distance des 

 points extrêmes cesse de passer par A et B. 



On forme ainsi une ligne continue indéfinie qui est entiè- 

 rement déterminée par les deux points A et B. 



Considérons en effet un point sur cette continuité 



1" Entre A et B ; nous avons déjà vu qu'on a dans ce 

 cas : 



d. AM^ d. MB = d. AB 



ou d. TM H- d. ~MB + d. BA = 



en comptant les longueurs positivement dans le sens A B, 

 et négativement en sens contraire ; 



2° En dehors du segment A B : 



Soit P le point de la série qui le suit immédiatement. 

 P A est une ligne de distance qui contient M entre P et A. 

 On aura donc, comme ci-dessus : 



