DE LA GÉOMÉTRIE 277 



d. AM + d. MP = d. AP 



de même d. BM + d. MF = d. BP. 



Retranchons membre à membre : 



d. AM- d. BM=d. AP -d. BP = d. AB 



et si nous comptons les distances positivement dans un 

 sens et négativement dans l'autre : 



d. AU + d. WB -\- d. BA = 0. 



Cette équation définit entièrement la ligne de distance 

 par rapport à A ei B. 



Proposition. — La ligne de distance est déterminée par 

 deux quelconques de ses points. 



Supposons deux autres points a et 6 sur la ligne de distan- 

 ce A B. Quelle que soit la position du point M, on pourra 

 toujours trouver deux points de la multiplication dans les 

 deux sens de AB, tels que P' et Q, qui comprendront 

 entr'eux les trois points a, b et M. 



Quel que soit le groupement de ces trois points, ils 

 occupent trois positions que nous pouvons désigner par 

 a, jS et Y suivant leur ordre dans le sens P' Q. 



Considérons les segments P'y et -[Q; ce sont des seg- 

 ments minima, puisque y est compris entre les extrémités 

 P' et Q de la ligne de distance P' Q. 



Le segment P' y est donc lui-même une ligne de dis- 

 tance, que la position a partage en deux segments minima 

 P' a et a y; on voit de la même manière que a y est aussi 

 une ligne de distance sur laquelle la position [3 détermine 

 deux segments minima a [3 et ^ y î on a donc entre les trois 

 positions a, g et y la relation : 



d. a^ -}■ d. ^y -\- d, yoi — 



