278 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



et par suite entre les trois points a, h et M, quel que soit 

 leur groupement, l'égalité : 



il. ^ + d. VM + d. JTa = 



qui définit la ligne de distance A B par rapport aux deux 

 points «j et h. 



Il en résulte que toutes les lignes de distance sont iden- 

 tiques et congruentes et que si l'on en transporte une, A B, 

 de façon que deux quelconques de ses points viennent se 

 confondre avec deux points d'une seconde ligne de distance, 

 C D, ces deux lignes coïncident entièrement, si loin qu'on 

 les prolonge. 



On les nomme lignes droites. 



Conséquences. — La ligne droite est définie par deux 

 points, indépendamment de leur distance. — Deux lignes 

 droites qui ont deux points communs se confondent, aussi 

 loin qu'on les prolonge. — La ligne droite est un lieu de 

 plus court chemin entre deux quelconques de ses points. 



Remarques. — I. On verra par la suite que la circonfé- 

 rence passant par deux points A et Bel dont le rayon croît 

 indéfiniment, se confond à la limite pour toute distance 

 finie de A B, avec la droite A B ; mais elle ne devient pas 

 le lieu des plus courts chemins entre ses points. Ce lieu est 

 le plan qui contient la droite ^ 5 et le centre du cercle 

 rejeté à l'infini. 



//. Analysis sitûs. — La condition d. A M-{-d. BM> d. 



AB est applicable à tous les points de l'espace réel. 



La condition d. AM -\-d. MB < d. A B n'est applica- 

 ble à aucun point de l'espace réel. 



La condition d. A M + d. M B = d. A B définit la ligne 

 droite, quelle que soit la distance AB. 



