288 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



A'B'-AB A'C' = AC B' C' = B C. 



Faisons la même construction que ci-dessus avec A' B' 

 pour axe ; le système A' B' C sera congruent au système 

 ABC, les sphères S' et s' avec leur ligne des centres A' B' 

 pourront être amenées à coïncider avec les sphères S et s 

 et la ligne des centres A B; par conséquent le point C 

 viendra sur la première circonférence et pourra coïncider 

 avec le point C par rotation, sans déformation autour de 

 A B. C'est ce qu'on exprime en disant que trois points 

 dont les distances mutuelles sont invariables forment un 

 système rigide et indéformable. 



Proposition III. — L'intersection d'une droite et d'une 

 sphère ne 'peut comporter plus de deux points. 



. Soit A un point d'intersection d'une droite XF et d'une 

 sphère de centre et de rayon R. Admettons qu'il puis- 

 se y avoir un 2® point d'intersection, comme nous le dé- 

 montrerons plus loin. La figure AOB Q^i invariable, puis- 

 que les trois distances AO, B et BA sont déterminées. 

 Je puis donc la transporter de manière que le point A vien- 

 ne en B et le point B en A. Comme AO = BO, on pourra 

 ramener le point à sa position initiale. Supposons main- 

 tenant qu'il y ait un 3' point d'intersection C< Il est soit 

 extérieur au segment A B, soit intérieur. 



§ 1. — Dans le premier cas, admettons qu'il est au delà 

 de B dans le sens A B. Dans le retournement de la figure, 

 C viendra en D, tel que AD = BC, de l'autre côté de A 

 et l'on aura 



DC = AB + 2BC. 



Nous pouvons maintenant retourner la figure de façon que 

 D et A permutent, sans que change de place. Nous ob- 



