DE LA GÉOMÉTRIE 289 



tiendrons ainsi iin pointa tel que DE =AC, en sorte que 

 la distance des points extrênaes E et C sera égale à 



EC = 2AB + 3BC. 



En opérant de même par rapport au segment B C, on ob- 

 tiendra un point F tel que : 



EF = 4AB + SBC 



et ainsi de suite indéfiniment. 



Au bout de n opérations, on aurait pour la distance entre 

 les deux points extrêmes : 



M N = 2"-^ (AB + BC) + BC. 

 Les points consécutifs ainsi obtenus sont tous des points 

 de la sphère, puisque par construction 



FO = DO = CO = BO = AO. 



On pourrait donc obtenir une corde plus grande que toute 

 longueur donnée, et nous savons que la corde ne peut dé- 

 passer le diamètre : 



corde MN < MO + ON ou < 2R. 



§ 2. — Dans le 2^ cas, le point C étant dans Tintérieur 

 du segment A B, commençons le retournement par A C, 

 nous obtiendrons ainsi un point D opposé à 5 et extérieur 

 èiAB,ce qui nous ramènera au cas précédent. 



Proposition IV. — Quand une sphère coupe une droite 

 en deux points A et B, le point de la droite voisin de cha- 

 que intersection est à une distance du centre supérieure au 

 rayon d'un cote et inférieure au rayon de l'autre côté de 

 cette intersection. 



En effet soit s l'accroissement de distance d'un côté 

 de A; s'il en était de même de l'autre côté, on trouverait 

 dans le voisinage de A deux points, dont la distance au 

 centre serait R-\-z. Retournons la figure AOB en BOA. 



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