292 ESSAI SUR l'origine El LES FONDEMENTS 



Variation de la distance d'un point fixe à un point 

 mobile sur une droite fixe. 



Soit une droite fixe A^ Y et un point M en dehors de 

 cette droite. Je dis qu'il est toujours possible de trouver 

 deux points à égale distance de /•/ sur X Y, 

 si cette distance n'est pas imposée. 



Prenons en etfet sur X Y un point quel- 

 conque (ûg. 6) et de part et d'autre de ce 

 point portons des longueurs P = Q = 

 M puis décrivons la sphère qui a pour cen- 

 tre et pour rayon OM (notation: sphère 

 ->- M). Elle coupera X Y aux deux points 

 P et Q qui seront en général inégalement 

 distants de M. Si l'égalité avait lieu, les 

 points répondraient à l'énoncé et la proposition serait 

 démontrée. 



Supposons donc MP > MQ. Considérons un point R 

 mobile sur XFen dehors de la sphère, du côté Q. 



Nous avons démontré que le plus court chemin d'un 

 point à la sphère est suivant le diamètre. 



Donc RQ < MR. Or RQ peut croître au delà de toute 

 valeur donnée. Par conséquent M R peut être plus grand 

 que M P. D'ailleurs je puis faire varier MR par accrois- 

 sements aussi petits que l'on voudra ; en ettet : 



Soit R' un point voisin de R;on a : 



RR' > MR' - MR. 



i^i^' peut être pris aussi petit qu'on voudra, il en sera 

 de même à fortiori de l'accroissement de MR qui peut être 

 plus petit que toute quantité donnée. La variation de MR 

 est donc continue. 



Elle part de M Q < M P et peut devenir plus grande que 



