DE LA GKOMETRIE 



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toute longueur donnée. Quelle que soit la loi suivant la- 

 quelle elle varie, cette variation étant continue, il arri- 

 vera nécessairement au moins une fois que M R passera 

 par une valeur égale à M P. 



Considérons donc un point M quelconque en dehors d'une 

 droite fixe XY sur laquelle nous avons déterminé deux 

 points etO' equidistants de M (fig. 7). Pre- 

 nons ces points pour centres de deux sphères 

 de rayon égal MO = MO' passant par le 

 point M. Leur intersection est une circonfé- 

 rence qui passe aussi par le point M. Prenons 

 le milieu w de 0'. Nous pouvons retourner 

 la droite 0' sur elle-même en entraînant 

 toute la figure, sans que le point M change 

 de position. En effet considérons la sphère 

 0) ->- (centre w, rayon w 0) et la sphère 

 M -^ (centre M^ rayon M 0). Leur intersection est une 

 circonférence lieu des points dont les distances à M et à w 

 sout respectivement égales à OM et à Ow. Le point 0' 

 est sur cette circonférence. Je peux prendre cette circon- 

 férence pour directrice du point dans le retournement. 

 Alors il/w restant fixe, le point 0' occupera à chaque ins- 

 tant l'autre extrémité du diamètre de la sphère m -v 0. Il 

 arrivera donc en quand sera en 0'. A ce moment les 

 sphères 0->-MetO'-v7l/ontpris la place l'une de l'autre 

 et leur circonférence d'intersection s'est retournée sur elle- 

 même et coïncide avec sa première position. Dans ce re- 

 tournement, tout point Q de l'axe 0' vient occuper une 

 position Q' telle que wQ' = ojQ et que MQ' = MQ, en 

 sorte que deux points equidistants de w sur ' sont éga- 

 lement equidistants de M et par suite de tout point de la 

 circonférence. 



