294 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



Je me 'propose de démontrer que il/w est Je plus court 

 chemin de M à X Y. 



Pour rendre notre exposition pins simple et plus claire, 

 nous résoudrons d'abord un petit problème élémentaire d'a- 

 nalysis sitûs basé sur le le m me suivant. 



Lemme. — Lorsque deux surfaces continues et fermées 

 enveloppant des espaces V et V distincts et extérieurs 

 l'un à Vautre ont une partie commune C, on ne peut pas- 

 ser de la région V à la région V sans sortir de l'en- 

 semble V -{- V qu'en traversant la cloison C. 



Soient en effet S et S' les parties distinctes des deux 

 surfaces. S, S' etC partagent l'espace en trois régions. V, 



V et le reste U de l'espace. V est séparé de U par 8 et de 



V par C. V est séparé de U par S ' et de V par C. Tout 

 cheminement qui sortira de V sans rencontrer C traver- 

 sera 5 et entrera dans la région U, c'est-à-dire quittera 

 l'ensemble V -\- V. 



Problème de position. — Considérons maintenant la 

 circonférence d'intersection de deux sphères etO'. Joi- 

 gnons à chaque instant à un point tîxe M de cette inter- 

 section un point mobile qui décrit toute la circonférence. 

 La droite Mtn décrira une surface conique C qui formera 

 une cloison continue. Tout point de cette cloison appar- 

 tient à une corde Mm commune aux deux sphères, c'est-à- 

 dire à la région de l'espace W caractérisée parle couple 

 de conditions : 



^,A MO < R 



^\mo'<r 



La cloison est donc toute entière dans l'espace W et 

 tous ses points satisfont à la double inégalité ci-dessus. 

 Nous avons vu que la ligne des centres (proposition VII) 



