DE LA GÉOMÉTRIE 297 



Mais M et m étant sur la même circonférence, dont Taxe 

 passe par Q et Q' on a : 



MQ = Qm et M Q' = Q' m . 



Donc 2MQ' > 2MQ ou MQ' > MQ. 



D'ailleurs MQ' - MQ < QQ\ c'est-à-dire que l'ac- 

 croissement est aussi petit que l'on voudra. 



Rêcipî^oquemejitj XY est perpendiculaire sur Mw. — En 

 effet, M et M' peuvent être pris pour centres de deux sphè- 

 res se coupant suivant une circonférence qui passe par 

 et 0' et qui a pour axe MM', dont le milieu w sera de 

 même le pied de la perpendiculaire abaissée 

 deO sur MM' (ûg. 10). 



On peut l'établir aussi comme conséquence. 

 En effet, soit Mm perpendiculaire à 00'. Fai- 



^ m; sons tourner Mw autour de 00', jusqu'à ce 



que M vienne en M' ; à ce moment tous les 

 points de Mm s'appliquent sur ceux de M'w 

 et l'on a: QN= QN' en même temps que 

 o,A^= ^N' et QNQ' > QQ' d'où NQ > Qm 

 c'est-à-dire que Qw est perpendiculaire sur 

 MM'. 

 Cette propriété est donc réciproque. 

 Le point M ayant été pris arbitrairement en dehors de 

 XY, on peut énoncer ainsi la proposition : 



Par un point quelconque d'une droite, on peut mener à 

 cette droite une perpendiculaire et une seule. 



Il en résulte que deux perpendiculaires à une même 

 droite ne peuvent pas se rencontrer à distance finie. 



Quand deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre 

 au point w, toute perpendiculaire menée d'un point de l'une 

 sur l'autre se confond avec la première. Deux points équi- 



