316 ESSAI SUR l'origine et les FONDBîMENTS 



quatre secteurs illimités tels que si l'on prend un point 

 dans un secteur quelconque et ses symétriques Q et Q' par 

 rapport à XY et à X Y', tout point de l'un des secteurs 

 satisfait à l'un des couples de conditions : 



aïO^MQ iMO<MQ AMO>MQ UIO>MQ 



\mo<mq' ^\mo>mq' "^{mokmq' '^\mo>mq' 



Les points du 1" groupe sont dans le même secteur que 

 le point ; ceux du 2^ sont du côté àeXY, mais de l'autre 

 côté de XX'\ ceux du 3% du même côté de Y' X' , mais de 

 l'autre côté deXF^ et ceux du 4^ appartiennent au secteur 

 opposé au premier. 



IV. — Trois droites qui se coupent deux à deux en des 

 points distincts partagent le plan en sept régions diverse- 

 ment définies. 



Considérons en effet trois droites XY, X' Y' QiX" Y", 

 un point et ses symétriques Q, Q' et Q" par rapport aux 

 trois droites. On peut former avec la distance MO et cha- 

 cune des trois distances MQ, MQ ' et M Q'\ huit combi- 

 naisons de trois inégalités. 



iMO<MQ IM0<MQ iMO<MQ iMO<MQ 



i]mO<MQ' 2\mO<MQ' 3]mO>MQ' 4M0>MQ' 



{MO<MQ" {mO>MQ" [M0<MQ" {M0>MQ" 



(MO>MQ (MO>MQ iMO>MQ iMO>MQ 

 ^MO<MQ' 6}M0<MQ' imO>MQ' slMOyMQ' 

 {MO<MQ" {M0>MQ" [M0<MQ" [M0>MQ" 



Un de ces groupes de conditions ne représente aucune 

 région de plan. 



En effet, la 3' droite ne peut rencontrer chacune des deux 

 premières qu'en un seul point ; soit A le point d'intersection 

 des deux premières droites, B celui de la 3^ avec la 1" et 

 C celui de la 3' avec la 2\ Faisons tourner un vecteur 



