DE LA GEOMETRIE 317 



indéfini AZ en partant de la position AB ei en allant vers 

 ^ C; ce vectenr rencontrera constamment le segment BC 

 c'est-à-dire la droite X"Y"\ il ne peut donc rencontrer cette 

 même droite dans le secteur opposé sur son prolong-ement 

 A Z'ce qui revient à dire que la droite^" Y" n'a aucun point 

 dans le secteur opposé à, B AC. 



Il y a donc au plus trois secteurs suceptibles d'être par- 

 tagés par X" Y" en deux régions différenciées par les con- 

 ditions MO > MQ" ou MO < MQ". 



Le 4* sera incompatible avec l'une ou l'autre de ces con- 

 ditions. Supposons par exemple que le point soit dans le 

 secteur opposé k B AC ; o\\ aura pour tout point de ce sec- 

 teur MO < MQ avec MO < MQ\ et d'autre part ce secteur 

 satisfait tout entier à la condition MO <MQ"; par consé- 

 quent le système de conditions 

 i MO<MQ 

 2 \ MO < MQ ' est irréalisable, 

 ( MO>MQ" 

 ce qui réduit à sept le nombre maximum des régions dis- 

 tinctes déterminées par trois droites dans un même plan. 



Proposition. — Par trois points non en ligne droite, on 

 peut toujours faire passer un plan et on n'en peut faire 

 passer qu'un. 



Observons d'abord qu'étant donné une droite quelconque 

 X Y et un point P sur cette droite, si l'on considère la nor- 

 male à XFen ce point et qu'on la fasse tourner autour de 

 cette droite, la rotation engendre un plan normal k XY 

 en P. Il en sera de même si l'on donne un point M à l'ex- 

 térieur de X Y, puisque par ce point on peut mener k XY 

 une perpendiculaire et une seule. Un plan est donc défini 

 par une droite et un point. 



Soient donc A,B Qi G les trois points donnés. Je dis d'à- 



