330 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



= (axiome IV). 



Mais l'axe XX' n'étant pas une ligne fermée, sa lon- 

 gueur est indéfinie et les paramètres t' et f , quelque grands 

 qu'ils soient, ne peuvent pas être dans un rapport fini et 

 déterminé avec la longueur totale de l'axe. 



Or pour engendrer le plan par ce mode de déplacement, 

 il faut parcourir toute la longueur de l'axe, de — co à+ oo, 

 c'est-à-dire au delà de toute distance dans un sens comme 

 dans l'autre en prenant pour origine du mouvement un 

 point quelconque de ^X'. 



L'aire de la surface engendrée par une translation ne 

 peut donc être dans un rapport fini et déterminé avec l'é- 

 tendue totale du plan. Quelque grande que soit une surfa- 

 ce ainsi engendrée, il est bien évident qu'on peut la répéter 

 sur le plan un nombre de fois quelconque sans recouvrir 

 celui-ci. Or, nous avons montré que la surface du secteur S 

 pour un tour complet et la surface de translation 7" de — oo 

 à -f- 00 sont identiques à la surface du plan défini comme 

 lieu d'équidistance à deux points fixes. Elles ont donc la 

 même étendue, en vertu de l'axiome IV généralisé. 



Du parallélisme. — Considérons dans un plan une droite 

 indéfinie X F et un point M, en dehors de cette droite. 

 Abaissons la perpendiculaire M Q sur X F et élevons en 

 M la perpendiculaire X' Y' à MQ. Nous savons que X' Y' 

 ne peut pas rencontrer X Y. Supposons que l'on puisse faire 

 décrire k MY' dans le plan, autour de M, une rotation 

 — sans rencontrer XY ; soit MZ la. position de la droite 

 après cette rotation. Prenons un point quelconque R sur 

 M Y', tel que MR> MQ. Dans la rotation ^, le point R 

 vient quelque part en R' sur M Z (fig. 27). 



Considérons d'autre part un déplacement par transla- 



