DE LA GÉOMÉTRIE 333 



TITRE IV. 



LA MESURE ET LES DIMENSIONS 

 DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE. 



Le parallélisme euclidien. 



Comparaison avec l'axiome V. — Nous avons montré 

 au Titre III que le postulatum d'Euclide ne contient pas 

 autre chose que l'extension à l'infini * de l'hypothèse sur 

 l'homogénéité de l'espace; parle mot espace nous enten- 

 dons désigner le lieu géométrique de toutes les posi- 

 tions que peut occuper un point qui se déplace librement 

 sans aucune condition de milieu, et quand nous supposons 

 l'espace homogène pour toute distance de G à oo, nous 

 exprimons simplement, sous une forme concise, que les 

 continuités géométriques, diversement étendues sont suppo- 

 sées indépendantes du milieu et entièrement déterminées de 

 forme et de grandeur par les seules conditions arbitraires 

 du mouvement, même au cas où ces conditions comportent 

 des distances infinies. 



La définition de la droite d. A M -{-cl MB=d. AB est 

 valable, quelque petit que soit^^^ que l'on peut réduire à 

 un déplacement élémentaire, ou, en quelque sorte, à un 

 point double orienté ; les continuités qui résultent de cette 

 définition sont congruentes de part et d'autre du point et 

 congruentes avec toutes celles de même définition. 



Elles constituent des lieux géométriques identiques de for- 

 me et de grandeur, qui ne diffèrent entre eux que par leur 

 position relative et auxquels l'application de l'axiome 



< Par l'axiome V, 



