334 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



IV généralisé assigne une seule et même étendue de 

 à 00. 



Les continuités qu'elles engendrentpar leurs déplacements 

 sont congruentes et égales en étendue, à la seule condition 

 que les déplacements soient les mêmes ; ainsi tous les sec- 

 teurs plans de même angle ont la même grandeur, et en 

 particulier tous les plans sont égaux en étendue; d'autre 

 part l'étendue du plan est indépendante du mode de géné- 

 ration de la surface, pourvu que la surface engendrée soit 

 congruente avec le plan défini comme lieu d'équidis- 

 tance à deux points fixes ; c'est ainsi que sont identiques 

 en étendue les surfaces engendrées par une rotation égale 

 à quatre angles droits d'une demi-droite autour d'un axe 

 qui lui est perpendiculaire, ou par la translation de — oo 

 à + GO d'une droite illimitée, le long d'une droite fixe per- 

 pendiculairement à un plan fixe passant par cette droite. 



Cette invariabilité de l'étendue du plan entraîne le paral- 

 lélisme euclidien. 



Réciproquement, l'hypothèse d'Euclide entraîne l'inva- 

 riabilité de la somme des angles d'un triangle, l'étendue 

 unique et définie de la surface plane, la similitude des figu- 

 res et par suite l'homogénéité de l'espace géométrique, 

 sans aucune restriction ni limite. 



Nous avons vu qu'en etfet l'hypothèse de Lobatschewsky 

 suppose une indétermination dans l'étendue illimitée du 

 plan et n'est pas conciliable avec Faxiome IV généralisé : 

 nous reviendrons ailleurs ' sur cette hypothèse. 



Mais il convient d'abord de -préciser la notion du parallé- 

 lisme euclidien et de passer rapidement en revue ses prin- 

 cipales conséquences. 



On voit d'abord qu'étant donnée une droite XX' , la per- 



' Etude de l'Homographie et de ses rapports avec la Mesure des 

 continuités géométriques. 



