336 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



Réciproquement, dans le quadrilatère dont les côtés op- 

 posés sont parallèles, ces côtés sont égaux deux à deux et les 

 angles opposés sont égaux. — Si un angle est droit les trois 

 autres le sont aussi ; la figure s'appelle alors rectangle. 



Le carré est un rectangle dont les quatre côtés sont 

 égaux. 



Corollaire. — La distance entre deux 'parallèles est 

 constante. 



L'hypothèse d'une valeur unique et déterminée pour 

 l'étendue infinie du plan permet également de donner une 

 démonstration directe du théorème sur la somme des an- 

 gles d'un polygone. 



Lemme. — Le rapport de l'aire d'un polygone fermé 

 convexe à l'étendue totale duplan est un infiniment petit 

 du second ordre. 



Soient deux droites rectangulaires, telles que le polygo- 

 ne soit tout entier dans l'un des angles droits qu'elles 

 déterminent (axes Y Y' et Z Z' et angle YCZ). Don- 

 nons à chaque droite un déplacement 

 perpendiculaire à l'autre, jusqu'à ce 

 que le polygone soit entièrement con- 

 tenu dans le quadrilatère A BCD rec- 

 tangle en B, C et D (fig. 29). 



Je puis reporter A 5 C Z) autant de 

 fois que je le voudrai le long de F F' 

 sans sortir de la bande plane indéfinie 

 XX' YY\ parce que, dans l'hypothèse d'Euclide, l'écar- 

 tement des droites XX' et Y Y' est constant, et que, dans 

 l'hypothèse contraire, cet écartement augmente à mesure 

 que l'on s'éloigne delà perpendiculaire commune BC. La 

 surface du polygone est donc un infiniment petit par rap- 

 port à l'aire illimitée de la bande plane. 



