DE LA GÉOMÉTRIE 337 



D'autre part, cette bande elle-même est une surface de 

 translation engendrée parle déplacement de Y Y' perpen- 

 diculairement â ZZ'. Le rapport de son aire à la surface 

 totale du plan est égal au rapport du paramètre ^ C à la 

 longueur totale de l'axe ZZ\ c'est-à-dire un infiniment pe- 

 tit. L'aire du polygone est donc un infiniment petit du 

 2* ordre par rapport à l'étendue totale du plan. 



Théorème. — La somme des angles intérieurs d'un poly- 

 gone est égale à autant de fois deux droits qu'il y a de 

 côtés, moins 2. 



Parcourons le périmètre du polygone dans un sens quel- 

 conque et prolongeons indéfiniment chaque côté dans le 

 sens du mouvement. Soient E^, E., £'3, etc., les secteurs 

 illimités détachés dans le plan par ces côtés. 



Appelons P l'étendue totale du plan et p l'aire du poly- 

 gone. 



^. E = P -p. 



Chaque secteur intérieur est la différence entre deux sec- 

 teurs droits et le secteur extérieur correspondant. Donc en 

 appelant D le secteur droit, et /,, /., I., etc., les secteurs 

 plans intérieurs, on aura: 



I,=2D - E^ 

 h = 2D-E.^ 



I =2D - E 



et en totalisant : S. I = 2nD — ^. E 



^. E = P -p=:4D -p 

 Donc ^. I = 2nD-4D + p 



= 2 {n-2) D + p 



j:,-^ = 2(n-2)+^ 

 D ^ ' D 



— est un infiniment petit du 2' ordre, puisque D est le 

 quart de l'étendue totale du plan. 



