DE LA GÉOMÉTRIE 339 



Je vais d'abord démontrer cette proposition sans recourir 

 au postulatum d'Euclide. 



Je m'appuierai pour cela sur les deux lemmes suivants : 



Lemme I. — Si l'on joint un pointa à un point mobile 

 sur une continuité linéaire quelconque située dans le même 

 plan, il peut arriver que A M devienne tangente. Soit T\e 

 point de contact le plus voisin de l'origine du mouvement. 

 Tant que M est compris entre et T, la variation de la 

 longueur de l'arc est de même sens que la 

 o(^^''^ variation de l'angle OAM (fig. 30). 



^j^ Lemme IL — Si le point A, au lieu d'être 



]T fixe, se déplace sur 0^ en entraînant avec lui 



Fig- 30. une droite A M dont l'angle avec A reste 



constant, on voit de même que la longueur d'arc OM 



varie dans le même sens que la distance OA, dans les 



^ A' a" ûiêmes limites, c'est-à-dire tant que le point 



M est entre et le point de contact le plus 



voisin (fig. 31). 



Ces deux lemmes sont basés uniquement 

 Fig. 3j. sur l'axiome de continuité. Dans le déplace- 

 ment de MA, si nous ne considérons pas au delà du point 

 de contact le plus voisin du point 0, tout accroissement de 

 l'angle A M ou. de la longueur A déplace la droite 

 mobile ^1 M et l'amène dans une région non parcourue ; 

 par suite tant que OMne deviendra pas tangente, c'est-à- 

 dire ne quittera pas la continuité, le point M qui appartient 

 à la fois à la droite et à la courbe sera amené lui aussi 

 dans une région encore inexplorée ; cela signifie que le 

 déplacement de M s'effectue dans le sens de l'accroisse- 

 ment de l'arc OM. 



Soit maintenant un triangle ABC dont les deux bissec- 

 trices des angles A et B sont égales ; soit / leur longueur. 

 Si du point A pour centre avec l pour rayon je décris une 



