340 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



circonférence, l'extrémité de la bissectrice de l'angle A 

 sera à l'intersection de cette circonférence avec le côté 

 BC. De même la circonférence de rayon l décrite du point 

 B comme centre coupera le côté AC èi 

 l'extrémité de la bissectrice de l'angle 

 5(%32). 



Considérons le cas le plus compliqué, 

 où chacune des circonférences coupe le 

 côté opposé en deux points à l'intérieur 

 du triangle, ce qui suppose les trois an- 

 gles aigus et J. ^ > / > la plus grande Fig. 32. 

 des deux hauteurs. 



La bissectrice de l'angle A sera A D ou A D'. La bissec- 

 trice de l'angle B sera BE ou BE'. 



Soient d'autre part F et K les intersections de la cir- 

 conférence de centre B avec les côtés AB et BC, et soient 

 Q et H les intersections de la circonférence de centre A 

 avec les côtés A B et A C. 



Si le triangle n'est pas isocèle, les angles à la base sont 

 inégaux. 



Soit 5 > A. 



Voyons si les bissectrices peuvent être AD et BE. 

 L'angle B étant plus grand que l'angle A, l'arc Q D sera 

 plus grand que l'arc P^ d'après le Lemme I, puisque les 

 circonférences sont égales et que QB = A P. Or ces arcs 

 mesurent, dans des circonférences égales, lés angles au 

 centre DAB = -{-AetEBP = -^B\ On aurait donc 

 A > B, ce qui est contraire à l'hypothèse. 



A fortiori, on aurait arc QD' -p^EP, c'est-à-dire que 

 B E ne peut pas être bissectrice avec A D\ pas plus qu'a- 

 vec A D. 



Essayons B E ' avec AD'. 



Jetant plus grand que A, le côté A C opposé ai? est 

 plus grand que le côté B C opposé à A, et si Ton rctran- 



