DE LA GÉOMÉTRIE 341 



che de chaque côté la longueur de la bissectrice K B= HA 

 = l,i\ reste HC> KC. 



Par conséquent, YsiVcE' K, vu sous l'angle C delà hau- 

 teur KCj est plus petit que VàrcHD' vu sous le même 

 angle de la hauteur H G, par application du Lemmell. 



Or ces arcs mesurent les angles au centre E' BK ou 



— eiHAD'ow— dans des circonférences de même 

 rayon. On aura donc B <A, ce qui est contraire à l'hypo- 

 thèse. 



A fortiori, on aurait arc E' K < arc HD. Par consé- 

 quent la bissectrice B E' ne peut s'associer ni avec A D' 

 ni avec .4 D. 



L'hypothèse de l'inégalité des angles à la base n'est donc 

 pas admissible, ce qui veut dire que le triangle est isocèle. 



Démonstration basée sur le parallélisme d'Euclide. 

 Soit un triangle A BC quelconque, ayant deux bissectri- 

 ces égales B D = A E. 



Menons par D et par E les parallèles D D 

 etEE' à labase^5(fig. 33). 



Les triangles EE'A et 5 DD' sont iso- 

 cèles par suite de l'égalité des angles en E 

 et A, comme d'autre part en D et B. On a 

 donc : 



B A DD' = BD' etEE' ==E'A. 



Fig. 33. Maintenant supposons B>A. 

 Le triangle isocèle B D'D ayant son angle à la base plus 

 grand que le triangle isocèle E E' A, le côté opposé DD' 

 est plus grand que EE', et par suite BD' > AE\ 



Pour que D Z)' soit plus grand que E E' qui lui est paral- 

 lèle dans l'angle C, il faut qu'il soit plus près de la base, 

 ce qui s'exprime par les inégalités^ E>BD' et E' A > 

 DA. 



