DE LA GEOMETRIE 353 



En effet, dans cette hypothèse, l'angle de parallélisme 

 diffère d'autant plus de l'angle droit que le point d'où l'on 

 mène la parallèle est plus distant de la base, c'est-à-dire 

 que si l'on considère le triangle formé par une droite fixe, 

 la perpendiculaire ^ P et une sécante mobile^ M, l'angle 

 P AM diffère encore de l'angle droit à la limite, lorsque la 

 sécante devient parallèle, et la différence croît de à — 

 lorsque la distance p = A P varie de à co. Il en résulte 

 nécessairement que les côtés A M et P M demeurent iné- 

 gaux à la limite et que leur différence-limite croît avec p. 



Il faut pourtant choisir : ou bien A M est moindre qu'une 

 longueur donnée, et alors les deux droites sont encore sé- 

 cantes ; ou bien A M est plus grand que toute longueur 

 concevable, et dès lors il nest plus susceptible d'aucun 

 accroissement. 



Il est vrai que la Géométrie de Lobatschewskj est cons- 

 truite, comme la Géométrie usuelle, sur une droite et un 

 plan qui ne sont pas désignés avec une précision mathéma- 

 tique. Cherchons donc à établir des définitions plus satis- 

 faisantes. 



Je puis d'abord déterminer le concept de distance par 

 l'hypothèse d'un minimum de continuité entre deux points 

 distincts, cette continuité minima unique de forme et de 

 grandeur constituera la seule relation nécessaire entre les 

 deux points donnés, relation mutuelle indépendante de toute 

 condition extérieure de milieu ou de position; ensuite je 

 puis considérer la droite comme le lieu des points tels que 

 la somme algébrique de leurs distances à deux points fixes 

 A Qi B soit égale à la distance de ces points, les distances 

 étant comptées positivement dans le sens AB Qi négative- 

 ment dans le sens contraire. On voit que si l'on prend sur 

 la continuité ainsi définie deux autres points quelconques 

 C et D, la définition est valable avec ces deux points pour 

 origine, en sorte que la droite est définie par deux points, 



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