354 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



indépendamment de la grandeur de la distance qui les sé- 

 pare. Elle constitue d'ailleurs un lieu de moindre conti- 

 nuité entre deux quelconques de ses points ou, en d'autres 

 termes, un lieu de distances. Nous admettrons que sur tou- 

 tes les droites la longueur intégrale, d'un point quelconque 

 à l'infini, est un symbole unique et invariable, c'est-à-dire 

 que toutes les demi-droites sont égales en étendue vir- 

 tuelle'. 



D'autre part, ayant établi préalablement que la sphère, 

 lieu d'équidistance à un point fixe, est une surface conti- 

 nue et fermée, et que par suite le lieu des points communs 

 à deux sphères, ou leur intersection, dénommée circonfé- 

 rence, est une courbe continue et fermée, je puis concevoir 

 le plan soit comme le lieu des points équidistants de deux 

 points fixes et ', c'est-à-dire comme le lieu des circon- 

 férences d'intersection de deux sphères de centres et ' 

 dont les rayons croissent indéfiniment en demeurant tou- 

 jours égaux entre eux, soit comme la surface décrite par 

 la rotation, autour deOO', de la demi-droite qui joint, au 

 milieu w de 0', un point quelconque M équidistant des 

 deux points fixes. 



En comparant les deux modes de génération, et en 

 observant que les deux sphères égales sont interchangea- 

 bles, il est facile de montrer par cette permutation que la 

 demi-droite 3fu) est le plus court chemin d'un quelconque 

 de ses points M k 00', et que deux sécantes MQ et MQ ' 

 menées à, 00 \ sont égales lorsque Q et Q' sont à égale 

 distance de w. Nous appellerons cette droite normale ou 

 perpendiculaire à. 0' en w, indépendamment de toute 

 idée d'angle. 



Ces notions préliminaires étant acquises, on démontrera 

 aisément que : 



^ En définitive, tous les axiomes de la Géométrie se ramènent a 

 une détermination complète de à 8 du concept de distance. 



