356 ESSAI SUR l'origine et les fondements 



Les aires de deux secteurs de cercle de même rayon 

 seront entre elles comme les angles correspondants, indé- 

 pendamment de la grandeur du rayon; panconséquent il 

 en sera de même des secteurs infinis compris entre deux 

 demi-droites. 



Si maintenant nous considérons l'étendue infinie décrite 

 par une rotation complète de la demi-droite, c'est-à-dire 

 par une rotation de quatre angles droits, cette étendue, 

 composée de quatre secteurs droits, constituera l'aire 

 totale du plan, puisque nous ne pouvons concevoir aucun 

 point du plan en dehors de cette surface. Nous convien- 

 drons, bien entendu, de ne comprendre sous le nom d'aire 

 totale du plan que l'ensemble des éléments qui y figurent 

 sans répétition, c'est-à-dire sans qu'un même élément 

 puisse être compté deux fois dans l'ensemble ; cette con- 

 vention écartera toute possibilité, pour un tel ensemble, de 

 se contenir plusieurs fois lui-même, et ainsi l'étendue vir- 

 tuelle du plan, quoique infinie, sera représentée d'une ma- 

 nière unique, sans indétermination et sans équivoque. 



Ceci posé, décrivons le plan par la translation d'une 

 droite mobile perpendiculaire à une droite fixe, et décom- 

 posons le déplacement en une série de 

 translations partielles, à paramètre 

 constant, tels que AA' = A' A", etc. 

 (fig. 34). 



Ces déplacements partiels détermi- 

 nent des aires congruentes et égales. 

 Le plan sera ainsi partagé en une infi- 

 nité de bandes de translation, en sorte 

 que la superficie de chaque bande sera 

 infiniment petite par rapport à l'aire totale ; une telle 

 bande ne saurait donc contenir le moindre secteur plan, 

 puisque l'aire de ce dernier représente une fraction finie et 

 déterminée de l'aire totale du plan. 



