DE LA GÉOMÉTRIE 357 



Supposons cependant, avec Lobatschewsky, que l'on 

 puisse mener de A' une demi-droite autre que A' X\ ne 

 rencontrant pas A X; cette demi-droite fera donc un angle 

 avec^' X'. lien sera de même du côté A Y. Soit -^ le 

 rapport de cet angle à l'angle droit ; le secteur plan cor- 

 respondant aura de même pour aire -^ de l'aire du sec- 

 teur droit, qui est le quart de l'aire du plan. Soit D 

 l'aire du secteur droit, P l'aire du plan, et B l'aire de la 

 bande de translation. L'ensemble des deux secteurs plans 

 contenus dans cette bande a pour superficie : 



ou ; donc B > -- — • 



n 2 n 2 n 



Répétons <2 w fois la translation A A\ suivant A' A'\ etc. 

 Nous aurons ainsi un ensemble àe 2n bandes de transla- 

 tion dont la superficie serait plus grande que l'aire totale du 

 plan, et comme cette opération peut se répéter sans fin, le 

 plan se contiendrait ainsi lui-même autant de fois que l'on 

 voudrait. 



Que faut-il en conclure ? 



Rien autre chose que ce que nous avons énoncé au dé- 

 but, à savoir que le postulatum d'Euclide équivaut à notre 

 hypothèse sur l'étendue virtuelle de la demi-droite, et n'est 

 qu'une définition de la « distance infinie .». 



Tandis que l'axiome euclidien suppose ce symbole 

 constant, l'hypothèse de Lobatschewsky admet sa varia- 

 tion, qui entraîne l'indétermination de l'étendue virtuelle 

 de la droite et du plan. 



La question reste donc de savoir s'il n'y a point, dans 

 les termes mêmes de ces définitions, quelque raison pure- 

 ment logique de préférer l'une à l'autre. 



Sans doute, l'idée d'infini entraînera toujours quelque 

 contradiction, lorsqu'elle sera énoncée comme représen- 

 tant la limite d'une grandeur finie dont on a supposé préci- 

 sément que l'accroissement n'est susceptible d'aucune limite 



