LE TANGENTI MULTIPLE DELLA CAYLETANA, ECC. 33 



gente doppia per l'inviluppo delle rette congiungenti punti cor- 

 rispondenti di S (*). 



Ne segue anche, indicando con A", B" le intersezioni di r 

 colle rette (doppie) polari miste di A, A'; B, B', che sono A A' A", 

 BB'B" due terne apolari sopra r: cosicché su questa retta 

 esistono x' terne apolari costituenti una involuzione di 3° or- 

 dine (e di 1* specie). Non possono infatti le dette terne 

 essere co* (cioè la detta involuzione essere di 2" specie), perchè 

 ogni punto X di r staccherebbe una involuzione di 1* specie 

 (XYY') e formerebbero le coniche polari miste della coppia 

 variabile (YV) un fascio involutorio di coniche con punto 

 doppio in X. Due coppie (Y'Y') apparterrebbero quindi al cova- 

 riante S e. variando X, si troverebbe che r appartiene a questo 

 covariante, mentre, per una quartica Q generale, S è irriducibile. 



I quattro punti doppi della sunnominata involuzione di 

 :'." ordine sopra r sono chiaramente della Hessiana di Q (la 

 quale Hessiana sega inoltre r nei punti che questa ha comune 

 con t), e quindi i quattro punti che con quelli formano rispet- 

 tivamente terne dell'involuzione appartengono alla Steineriana. 

 La retta /• è adunque tangente quadrupla della Cayleyana. Oltre 

 le 21 rette r, questa curva non possiede altre tangenti mul- 

 tiple, perchè sono 126 le tangenti doppie della Cayleyana di 

 una quartica Q generale (**). 



Donde si trae un'altra conseguenza: e cioè che di rette 

 sulle quali esista più che una terna apolare, non vi sono che 

 le dette 21 rette, giacche un'altra retta che avesse quella pro- 

 prietà, per lo stesso ragionamento fatto, dovrebbe essere tan- 

 gente quadrupla della Cayleyana. 



Si è adunque dimostrato, per una quartica piana generale, 

 che. mentre sopra una retta generica esiste una sola terna apo- 

 lare, vi sono 21 rette (e queste sole) su ciascuna delle quali si 

 trova invece una involuzione (di P specie) di terne apolari. Tali 

 rette sono quelle che fanno parte di cubiche polari e sono tangenti 

 quadruple della Cayleyana (che non ha altre tangenti multiple). 



(*) CiAKi, Sopra la corrispondenza polare fra coniche inviluppo e coniche 

 luogo stabilite da una quartica piana (' Rend. della R. Accad. dei Lincei ,, 

 189.5, n° 10). 



(**) Cfr., ad 68., Clebsoh-Lindeua.nn, Vorlesungen, Bd. I, pag. 368. 



