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elasse finita e infinita quelle del sig. Dedekind, esponiamo un 

 complesso di proposizioni (o-lfi) conseguenze di tali definizioni 

 e delle prop. del Formulario relative alle classi e alle corrispon- 

 denze. Fra queste, notevole e feconda di molte conseguenze, e 

 la prop. 5 che dice, essere infinita ogni classe che contiene una 

 classe infinita (o, è finita ogni classe contenuta in una classe 

 finita). E pure notevole la prop. 1(>, sehlìene di essa non ab- 

 biamo fatte applicazioni. " Se esiste una classe infinita e la 

 classe u è tale che comunque si fissi la classe finita u esiste 

 una parte di u equivalente ad ./•, allora u e classe infinita ,. 

 Se col sig. Dedekind (1. e.) dimostriamo la prop. " esistono 

 classi infinite ,, allora la prima parte dell'ipotesi della prop. 

 citata può esser soppressa. Non siamo però riusciti a dare della 

 prop. *■ esistono classi infinite , una dimostraziose che ci sod- 

 disfi intieramente e quindi la poniamo in modo esplicito nel- 

 l'ipotesi tutte le volte che ci è necessario. 



Arrivati a questo punto non abbiamo saputo procedere 

 oltre senza introdurre esplicitamente una prop. primitiva, che 

 esprimiamo nel modo .seguente: " Se m è una classe i cui ele- 

 menti sono classi non nulle, e v è la minima classe che con- 

 tiene ogni elemento di u. allora la classe u è equivalente o a i' 

 a una parte di v „. Ciò nel linguaggio comune si può anche 

 esprimere dicendo che ■" una classe di classi contiene almeno 

 tanti elementi, quanti sono quelli che formano i suoi elementi ,: 

 qui il latiti quanti, è espressione precisata nella precedente di- 

 zione dal concetto di classe e di corrispondenza univoca e re- 

 ciproca. Da questa prop. noi deduciamo (prop. 11») che " ogni 

 classe di classi formata con gli elementi di una classe finita è 

 classe finita ,, il che non sapremmo dimostrare valendoci sola- 

 mente delle proprietà delle classi e delle corrispondenze conte- 

 nute nel Formulario. 



Nel § 8 otteniamo il principio d'induzione. Ecco in sostanza 

 come procediamo. Sia u una classe finita i cui elementi sono 

 p. es. a, b, e, d, e. Diciamo che v è una classe normale formata con 

 gli u (prop. 1), quando i suoi elementi sono p. es. le classi seguenti: 



(«). (a, b), (a, b, e), (a, b, e, d). (a, b, e, d, e). 



La prop. primitiva prima ammessa, ci permette di dimo- 

 strare che V è classe finita (prop. 9), che m è un elemento di r 



