LE CLASSI FINITE 39 



(prop. 11) e che " se w è una classe formata con elementi di v, 

 a appartiene a, w, e i\ seguente di ogni elemento di w diverso 

 da u, è pure un u; allora ogni v è un w, cioè la classe tv è 

 identica alla classe v (prop. 12) „. — Ciò, in altri termini 

 esprime che " si forma una classe finita, unendo ad un suo ele- 

 mento a un altro b, poi un altro e, e così dì seguito, 



avendo tale operazione una /ine „ . Qui i termini così di seguito, 

 l'operazione ha fine sono precisati dai termini esattamente defi- 

 niti contenuti nella prop. 12. Risulta di qui che la def. del 

 signor Dedekind conduce effettivamente ad uno degli ordinari 

 significati che si attribuiscono al termine classe finita {'). 



Dimostriamo in seguito (prop. 13) che può effettivamente 

 costruirsi almeno una classe normale con gli elementi di una 

 classe finita, e da ciò deduciamo il principio generale di indu- 

 zione (prop. 14) che può essere enunciato così: " Se una pro- 

 prietà è vera per tutte le classi contenenti un solo elemento 

 (§ 1, prop. 13), ed essendo vera per una classe finita (diversa 

 dalla classe totale) si può dimostrare che è vera per la classe 

 che da essa si ottiene unendoci un elemento, allora ogni classe 

 finita gode di quella proprietà „. 



Nel § 4, essendo u una classe finita e contenente effetti- 

 vamente degli elementi (non nulla), chiamiamo " numero degli 

 il „ un ente astratto funzione di « e che « ha a comune con 

 tutte le classi v equivalenti (secondo Cantor) ad u. Chiamiamo 

 poi numero (intero e non nullo) la classe i cui elementi sono i 

 numeri degli elementi di tutte le classi finite e non nulle. — 

 Definito l'I e la somma di due numeri, come fa il sig. Cantor 



(') Il sig. Bkttazzi, nella nota citata: Gruppi finiti , dice ' resta 



il dubbio che veramente i suoi (del Dedekind) gruppi finiti si possano tutti 

 ridurre a quel tipo di gruppo ordinato, nel quale in sostanza ordinaria- 

 mente (ed anche nel grossolano uso comune) si suol vedere il gruppo 

 finito ,. — Noi riteniamo invece che la definizione del sig. Dedekind con- 

 duca effettivamente al comune significato di classe finita, poiché le nostre 

 proposizioni dei §§ 3, 4 esprimono appunto le proprietà che nel linguaggio 

 comune si sogliono attribuire alla classe finita. Che poi non sia necessario 

 ricorrere — come fa il sig. Bettazzi — oltre che ai concetti di classe e di 

 corrispondenza anche a quello di ordine, risulta dal non aver noi fatto uso 

 di tale concetto pur giungendo al risultato finale. 



