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per i numeri cardinali, risalta subito che se Mi è la classe che 

 si ottiene da « unendoci un elemento e diverso da ogni «, 

 allora il numero degli «, vale il numero degli « più uno: il 

 che prova che l'espressione " numero degli « , ha l'ordinario 

 significato. 



Se esiste almeno una classe infinita, allora la classe nu- 

 mero è infinita, e essendo n Hn numero. « -(- 1 è sempre un 

 numero. Valendosi dei risultati ottenuti nel § 3 si dimostra che 

 per l'ente astratto numero sussistono le proprietà assunte dal 

 signor Dedckind come primitive per individuare il concetto di 

 numero ('), e sussistono quindi per il numero, quale lo abbiamo 

 definito, tutte le ordinarie proprietà ('). Con ciò diamo fine al 

 § 4 e al nostro lavoro. 



E potremmo anche dar fine alla prefazione se non credes- 

 simo utile far notare esplicitamente come possa farsi la trat- 

 tazione inversa alla nostra. Tale utilità ci sembra determinata 

 dal fatto che mentre didatticamente è assai semplice partire 

 dal concetto astratto di numero intero e da questo giungere al 

 concetto di classe finita, pure tale metodo è poco noto fra gli 

 insegnanti (') e anzi si presenta una spiccata tendenza (*) al 

 procedimento inverso, per quanto esso fino ad oggi sia stato 

 privo di un rigoroso fondamento scientifico. 



Al concetto di numero (intero, positivo e non nullo) sono 

 intimamente legati i concetti espressi dai termini uno (o unità). 



(') Sul concetto di numero, Loc. cit. 



(*) G. Peano, Arithmetiees principia Torino, Bocca, 1889. 



C) ' Le esatte determinazioni di concetti ed i rigorosi metodi di dimo- 

 strazione, svolti dalla moderna matematica, vengono generalmente ritenuti 

 per astrusi ed eccessivamente astratti nella cerchia degli insegnanti secon- 

 darli; — Per oppormi a tale opinione fu per me vero piacere l'e-sporre 



nella scorsa estate dinanzi ad un gran numero di uditori, in un corso di 

 lezioni di due ore settimanali, quanto la scienza moderna è in grado di 

 dire sulla possibilitìi delle costruzioni della geometria elementare , (F. Klein. 

 Conferenze sopra alcune questioni di geometria elementare, traduzione dal 

 tedesco di F. Giudice). Perchè in Italia un qualche autorevole e valente 

 scienziato non fa altrettanto? 



(*) Per es. i citati lavori del sig. Bettazzi e varii trattati ispirati a tali 

 metodi. 



